关于 Aubin-Nitsche 论的详细解释

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Aubin-Nitsche 论最初是用来在有限元误差估计中获得 L^{2}-范数下的误差的阶. 简单来说, 当 H^{1}-范数下的估计如同 O(h) 时, 我们来考虑对偶问题 (即所谓 ``伴随方程'') 并充分利用 Galerkin 正交性及问题的椭圆正则性, 可以证明, L^{2}-误差实际上如同 O(h^{2}).

1) 空间 H^{1} 和 L^{2} 之间的嵌入关系

人们通常说的嵌空间 X 入 Y, 就是说能把 X 塞进 Y 里, 并让恒等映射连续. 因此, X 首先必须确实是 Y 的子空间 (不仅是作为子集, 而且带着 Y 里该有的结构性质时可以相容 --- 很重要). 麻烦的点在于理解 ``恒等映射连续'' --- 如果把恒等映射想象成 \forall x(x \mapsto x) (这里本身没问题) 进而想成直角坐标的对角线 (这是有问题的!), 就无法正确地理解这句话. 回想连续的各种定义: 它们都在拓扑结构上要求X \rightarrow Y 的映射连续, 如果 Y 里每个开集的原象是 X 里的开集. 所以 X 和 Y 作为集合, 里面的东西本身在此时不重要, 重要的是上面的拓扑 (也就是说, 开集怎么定义).

我们来举一个例子, 它可以说明, 即使 X 和 Y 作为集合是完全相等, 如果它们上面拓扑的定义不够合适, 也会导致恒等映射不连续.

让 X = \mathbb{R} 并带着通常的拓扑 (开区间是开集), 让 Y = \mathbb{R} 但带着离散拓扑 (每个子集都是开集). 此时 Y 里的集合 \{0\} (注意, 它在 Y 里是个开集) 在恒等映射下的原象还是 \{0\}, 但它在 X 里不是开集 (\mathbb{R} 的通常的拓扑下, 单点集不是开的). 所以在这样的设定下, 恒等映射不连续, X 不能说是嵌入 Y, 即使它们作为集合甚至是完全相同的 (所以代数结构甚至也可以完全相同).

现在转向函数的空间. 在这里, 范数 (当然更一般的说是半范数的族, 但现在先不要) 决定了开集定义.

设 \Omega 是个带着 Lipschitz 边界的有界连通开集. 空间 H^{1}(\Omega) 即 Sobolev W^{1,2}(\Omega) 是这样的 \Omega 上的函数 f 的空间: f 本身及其 (广义) 一阶导数都在 L^{2}(\Omega) 里. 因此 H^{1} 首先确实是 L^{2} 的子空间. 此时, 考虑恒等映射的连续性. 由于

\Vert \text{id } f\Vert^{2}_{L^{2}} = \Vert f\Vert^{2}_{L^{2}} \leq {\Vert f\Vert}_{H^{1}}^{2} := \Vert f\Vert^{2}_{L^{2}} +\Vert \nabla f\Vert^{2}_{L^{2}} ,

恒等映射是连续的 (在 H^{1} 有 H^{1} 的拓扑, L^{2} 有 L^{2} 的拓扑的条件下). 所以 H^{1}(\Omega) \hookrightarrow L^{2}(\Omega).

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因此, 如果您能操纵各种范数之间的不等式, 就可以类似地建立大量这种函数空间之间的嵌入 (它们称为 Sobolev 型的嵌入定理).

空间 H^1(\Omega) 的对偶空间 (我们写成 (H^1(\Omega))^*, 我讨厌 H^{-1} 这个记号) 里是定义在 H^1(\Omega) 上的所有线性泛函的集合. 具体地说, 利用表示定理, 把 f \in L^2(\Omega) 看成一个作用在 L^2(\Omega) 上的线性泛函 T_f(g) = \int_\Omega fg\,dx. 如果要求 g \in H^1(\Omega), 则 T_f 当然也是一个作用在 H^1(\Omega) 上的线型泛函. 然后
|T_f(g)| = \left|\int_\Omega fg\,dx\right|\leq \Vert f \Vert_{L^2} \Vert g \Vert_{L^2}\leq \Vert f \Vert_{L^2}\Vert g \Vert_{H^1},

从而 T_f(g) 是连续线性泛函 (那个常数是 \Vert f \Vert_{L^2}).

(H^1(\Omega))^* 上的 (对偶) 范数照例是
\Vert T_f\Vert_{(H^1(\Omega))^*} = \sup_{0 \neq g \in H^1(\Omega)} \frac{|T_f(g)|}{\Vert g\Vert_{H^1}},

而刚才已经有了 \frac{|T_f(g)|}{\Vert g \Vert_{H^1}} \leq \Vert f \Vert_{L^2}, 取 g 的上确界, 右边也不变 (因为右边根本没有 g), 而左边就得到对偶范数. 这样, 我们又得到 \Vert \text{id } T_f\Vert_{(H^1(\Omega))^*} = \Vert T_f\Vert_{(H^1(\Omega))^*} \leq \Vert f \Vert_{L^2}, 因此 L^2(\Omega) \hookrightarrow (H^1(\Omega))^*.

现在, 有了嵌入的列
H^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega) \hookrightarrow (H^1(\Omega))^*,

L^2 按嵌入的关系夹在 H^1 和它的对偶空间中间.

对任何 Hilbert 空间 V 和 W, 如果它们能组成这样的关系

V \hookrightarrow W \hookrightarrow V^*

且其中的嵌入关系作为子集的关系是稠子集 (准确地说, V 在恒等映射下的象, 在 W 里取闭包, 正好得到 W, 第二个箭头的地方同理) 的话, 就称为是 Gelfand 3-元组. H^1 和 L^2 的嵌入关系就属于这种 Gelfand 3-元组 (为了证明这点, 必须证明 H^1(\Omega) 在 L^2(\Omega) 里的闭包确实是 L^2(\Omega), 第二个箭头的地方同理. 在这时关于 \Omega 的假设将会发挥大大的作用).

Gelfand 3-元组如果用得更激进一些, 它可以提供这样一种机制, 把 V 和 V^* 直接通过 W 等同起来. 很多约束优化问题里其实已经这样做了: Lagrange 乘子的空间按理来说是状态变量空间的对偶空间, 但是实操的时候好像很少有人注意这个, 或者直接把它们写成是同一个空间. 在这里也相当于已经这样做了, 因为我们把 f 等同于 T_f --- 这是表示定理, 并不是真正的恒等映射 --- 然后证明了 (L^2)^* 到 (H^1)^* 的的恒等映射 (严格来说也不是真正的恒等映射而是限制映射) 是连续的. L^2 嵌入 (H^1)^* 的实际过程比 H^1 嵌入 L^2 的过程复杂.

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2) 变分问题, 变分问题的离散问题和它的对偶问题

设双线性型 a: V \times V \rightarrow \mathbb R 是连续的 (设常数是 c_1) 和强制的 (或者说 V-椭圆的, 设常数是 \alpha). 考虑抽象变分问题
a(u,v) = \langle f, v\rangle,\quad \forall v \in V
和它的离散问题: 取有限元空间 V_h \subset V, 求 u_h \in V_h 满足
a(u_h,v_h) = \langle f, v_h\rangle,\quad \forall v_h \in V_h.

我不得不严重多说一下记号的问题, 因为刚才说到嵌入的事情 --- 首先, \langle \cdot, \cdot\rangle 严格来说必须表示 \langle \cdot, \cdot\rangle_{V^*, V}. 这种问题的原型就是等号左边是二次型, 右边是线性型 --- 例如, 在通常的二阶椭圆问题里, f 本身是 \in L^2(\Omega), 可是 L^2 \hookrightarrow (H^1)^*, 所以 f ``变成'' \in (H^1(\Omega))^* 的过程是这样的: f 必须先被理解成上面那个 T_f (现在明确地写成 \mathfrak rf = T_f, 这就是 Riesz 的表示定理, 这时候 T_f 先 \in (L^2(\Omega))^*), 然后 (L^2(\Omega))^* 和 (H^1(\Omega))^* 之间有着恒等映射 \mathfrak i 的关系 (严格来说是限制映射, 因为 (L^2(\Omega))^* \subset (H^1(\Omega))^*, 对于那些只能作用 H^1 但不能作用 L^2 的泛函不能算在内 (这种泛函有的, 比如著名的 Dirac 泛函); 其它的部分自然恒等); 通过 \mathfrak i \circ \mathfrak r, 才把 L^2 里的 f -> (L^2)^* 里的 T_f -> (H^1)^* 里的 T_f 的等同明确地建立起来, 这整个过程是我上面说的 "连续的恒等映射", 也就是 Gelfand 的 3-元组如何等同一个空间和它的对偶空间. 另外, f 不可能落在 "不算在内" 的地方, 因为对于能提出的问题而言, 一般会设 f \in L^2 (也就是说, 设它不能仅在 (H^1(\Omega))^* 中), 而 v \in H^1 \subset L^2. 所以我以后还是写记号 \langle f, v\rangle, 而且由于 T_f(v) = \int fv, \langle f, v\rangle = (f,v)_{L^2}. 正是这种不协调的记号能起到提醒人 "这中间有很多事情" 的作用 --- 我知道有不少人写东西故意混淆圆括号和尖括号, 然后没发现这些事情 (或者由于不想发现, 所以必须不承认有), 我也这么干过, 所以我今天把它写清楚了. 记号上混淆一点本身没啥 (Riesz 本人的写法就是 f(x) = (x,f)), 只是说应该知道自己在混哪里, 而不是 "我发现这个尖括号好像没用"...

现在继续说变分问题本身. 由于 v_h \in V_h \subset V, 连续问题里也应该容许 v_h, 即 a(u,v_h) = \langle f, v_h\rangle. 把它减去离散问题, 就有 a(u-u_h, v_h) = 0 对所有 v_h \in V_h, 说明误差 e_h := u - u_h 总是垂直于 V_h (这就是 Galerkin 正交性).

利用这个性质和问题的椭圆性, 就可以估计误差 e_h 了. 现在我们把 e_h 写成 e_h = (u -v_h) + (v_h - u_h) := \eta_h + \zeta_h, 进而 a(e_h,e_h) = a(e_h, \eta_h) + a(e_h, \zeta_h), 而第二项按 Galerkin 正交性为零. 所以结合椭圆性, 得到 \alpha\Vert e_h\Vert^2_V \leq a(e_h,\eta_h), 并根据连续性, \alpha\Vert e_h\Vert^2_V \leq |a(e_h, \eta_h)| \leq c_1\Vert e_h\Vert_V \Vert \eta_h\Vert_V. 只要离散误差 e_h 不是零, 我们就可以施行除法, 于是
\Vert e_h\Vert_V \leq \alpha^{-1} c_1 \Vert \eta_h\Vert_V.
\eta_h = u - v_h 中 v_h 总是任意的, 这个式子应该对所有 v_h 都成立. 因此可以求上界的下界, 它还是成立 (这样做是为了不要让上界太松弛. 在使用 Cauchy 不等式的时候, 为了达到类似的目的, 他们就改用带参数的 Cauchy 不等式, 得到的估计当然对参数的所有容许的值都成立 --- 然后再用参数作为抓手来收紧上界), 即
\Vert u - u_h\Vert_V \leq \alpha^{-1}c_1 \inf_{v_h \in V_h} \Vert u - v_h\Vert_V.
这个式子就是 \text{C\'ea} 的先验估计. 当然, 在 \text{C\'ea} 的原始版本里, 他用的是 H^1 和 L^2 这一对具体的空间.

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3) 一般的 Aubin-Nitsche 表达式

\text{C\'ea} 的先验估计是 V 空间里面的, 但很多时候只需要更大的空间 W 里的误差估计 --- 例如, 当把二阶椭圆问题写成变分格式的时候, 为了解的存在性, 需要变量具有 H^1 的光滑性 (Lax-Milgram); 但变量本身在自然世界可能只需要 L^2.

由于可以嵌 V 入 W, \text{C\'ea} 的先验估计自然能搬运到 W 里 (把左边换成 W-范数就行了). 但是如果考虑到 ``第二个箭头的地方'', 就有可能把 W 空间中的估计作得更精确一些.

为此, 首先用
\Vert u - u_h\Vert_W = \sup_{0 \neq g \in W} \frac{|(g, u-u_h)_W|}{\Vert g \Vert_W}.
这个式子成立是因为 Cauchy 不等式 (内积不能大于范数的乘积; 所以固定 u - u_h, 如果此时让所有非零元和它内积, 则内积的 "最大者" 只有 g = u-u_h 的时候, 那就是范数平方. 对无限维空间, 严格来说应该用 "最小上界" 这个词来替换 "最大者"); 然后研究出现的内积. 这就是要解对偶问题: 对每个 g \in W, 找 \varphi \in V 使得
a^*(\varphi, v) = a(v,\varphi) = \langle g, v\rangle, \quad \forall v \in V.
这里 a^* 表示伴随型 --- 不假设 a 是对称的. 另外, 等号右边当然按标准来写应该是 (g,v)_W = \langle (\mathfrak i \circ \mathfrak r) g,v\rangle.
现在, 由于要找 (g, u-u_h), 自然让 v = u - u_h, 然后得 \langle g, u - u_h\rangle = a(u - u_h,\varphi) = a(u-u_h, \varphi - v_h) (因为按 Galerkin 正交性, a(u-u_h, v_h) = 0). 这样做, 就可以得到一个估计
|\langle g, u-u_h\rangle| = |(g, u-u_h)_W| \leq c_1 \Vert u - u_h\Vert_V \Vert \varphi - v_h\Vert_V,
或者同样取上界的下界,
|(g, u-u_h)_W| \leq c_1 \Vert u - u_h\Vert_V \inf_{v_h \in V_h} \Vert \varphi - v_h\Vert_V.
以 \Vert g \Vert_W 除并对 g 求上界, 左边就变成了 \Vert u - u_h\Vert_W, 进而
\begin{aligned} \Vert u-u_h\Vert_W &\leq c_1 \Vert u - u_h\Vert_V \sup_{0 \neq g \in W}\left(\Vert g\Vert^{-1}_W \inf_{v_h \in V_h} \Vert \varphi - v_h\Vert_V\right) \leq \\ &\leq \alpha^{-1}c_1^2\inf_{v_h \in V_h}\Vert u - v_h\Vert_V\sup_{0 \neq g \in W}\left(\Vert g \Vert^{-1}_W \inf_{v_h \in V_h} \Vert \varphi - v_h\Vert_V\right). \end{aligned}
这就是 Aubin-Nitsche 引理. 当然, 原始版本中用的也是具体的空间.

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Aubin-Nitsche 引理到底在什么地方进一步解放了先验估计的力量呢? 可以一眼看到的是常数 (相差一个 c_1 因子) 乘 \inf(...) 项的结构和 \text{C\'ea} 的结果相同, 后面还多了一个 \sup(...) 项. 可是 \sup(...) 项是从对偶问题出来的, 它受对偶问题的性质的控制; 或者更简单的说, 这块可以变. 这使人想到刚才说的那个通过 "上界的下界" 来收紧上界, 需要一个抓手; 而抓手来了. 例如, 假设您使用网格参数为 h 的有限元方法解二阶椭圆问题. 如果有限元空间 V_h 的最佳逼近误差 (即 \inf_{v_h \in V_h} \Vert u - v_h\Vert_V, 指的是这个有限元空间本身的逼近能力) 为 O(h), 则 \text{C\'ea} 的估计给出解在 V 范数下的误差也是 O(h). 而 Aubin-Nitsche 论不仅给出解在 W 范数下的误差 (刚才说过了, 很多时候只需要这个东西), 而且得出这种误差是 O(h^2) --- \inf 项和 \sup 项各贡献一个 O(h).

4) 例题

设 \Omega \subset \mathbb R^d 是个有界的, 带着 Lipschitz 边界的区域 (这个东西不是简单的套话, 如上面所说的, 对于确保 Gelfand 的3-元组结构存在很有用), 而您正在求解变分问题
a(u,v) := \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\,dx = \langle f, v\rangle,
其中 u, v \in V = H^1_0(\Omega) = \{v \in H^1(\Omega): v = 0\text{ 在 $\partial \Omega$ 上}\}, f \in W = L^2(\Omega). 可以看见 a 是连续的 (而且 c_1 = 1) 和强制的, 还是对称的. 大家知道这相应于带着 Dirichlet 边界条件的 Poisson 方程. 区域的形状保证 V 和 W 之间有 Gelfand 3-元组的关系. 您使用 P1 元离散问题, 并采用了 quasi-uniform 网格 (比如 \Omega 是单位正方形, 则它就是均匀网格). 此时, 解 u 在具有 H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) 的光滑性时可在古典意义下理解, 且这种离散本身将导致
\text{存在常数 $c_2$, 使}\quad \inf_{v_h \in V_h} \Vert u - v_h\Vert_{H^1} \leq \Vert u - \Pi_h u \Vert _{H^1} \leq c_2 h \Vert u \Vert_{H^2},
这里 \Pi_h: V \rightarrow V_h 是插值算子, 即 \Pi_h u 是 u 在这种有限元离散下的近似; 从而结合 Cea 的估计, 得到
\Vert u - u_h\Vert_{H^1} \leq \alpha^{-1} \Vert u - \Pi_h u\Vert_{H^1} \leq\alpha^{-1}c_2h\Vert u \Vert_{H^2}.

接下来, 由于 a 是对称性, 对偶问题就是同样的带 Dirichlet 边界的 Poisson 问题
\begin{cases} -\Delta \varphi = g & \text{in } \Omega,\\ \varphi = 0 & \text{on } \partial\Omega. \end{cases}

椭圆性给出存在常数 c_3 使 \Vert \varphi \Vert_{H^2} \leq c_3 \Vert g \Vert_{L^2}.

而且由于是在同等的离散条件下求解对偶问题, 和处理 u_h 时类似, 由于
\text{存在常数 $c_4$, 使}\quad \inf_{v_h \in V_h} \Vert \varphi - v_h\Vert_{H^1} \leq \Vert \varphi - \Pi_h \varphi \Vert _{H^1} \leq c_4 h \Vert \varphi \Vert_{H^2},
然后
\inf_{v_h \in V_h} \Vert \varphi - v_h\Vert_{H^1} \leq c_3c_4h\Vert g\Vert_{L^2}.

把这些结果放进 Aubin-Nitsche 引理, 就有着
\Vert u - u_h\Vert_{L^2} \leq \alpha^{-1}c_2c_3c_4\Vert u \Vert_{H^2}\Vert g \Vert_{L^2}h^2 = O(h^2).

最后, 我描述 (我现在不想写仔细的论述了) 两个事实:

对区域形状的假设非常重要; 再说一遍, 那不是一个套话; 如果您在非凸多边形的区域 (例如, 五角星形区域) 上求解这个例题, \varphi 就没有了 H^2 正则性, 只有 H^{1 + q} (q < 1) 正则性, 此时, 您使用 Aubin-Nitsche 论得到的误差应该是 O(h^{1+q});
您也可以将 Aubin-Nitsche 论用在其它相关的地方. 例如用在 Pk 元上, 将得到 O(h^{k+1}) 的误差; 用在 Lax 的 H^{-q}-负范数下的估计上, 将得到 O(h^{k+1+q}) 的误差; 当然也可以用在时间相关的问题的空间离散问题 (那时, 是一个 ODE 方程组).